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05 排列與組合 | Permutations & Combinations


教學建議:本課件以分派水果的情境讓學生認識排列與組合的數數定義,生活化地說明「次序重要」和「次序不重要」的分別。

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教學建議:
  1. 本課件將排列數和組合數(n<=8)以三角形方式列出,方便教師和學生觀察數值的大小和規律。逐一點擊各項就可打開用英文字母作為物件的排列與組合清單,例如點擊 C(6,3) 就可顯示20個英文字母組合,點擊 P(7,6) 就可顯示5040個英文字母排列。 
  2. 教師可考慮延後教授 C(n,r) 和 P(n,r) 有關階乘的公式,先用上一個課件講解排列記號 P(n,r) 與組合記號 C(n,r) 的數數定義,然後就著學生用計數機先計算工作紙中各項數值,教師可同時打開清單讓學生核實。對能力較高的學生,教師可跟學生探討如何「不重覆、不遺漏」地列出所有排列與組合。 
  3. 接著教師可著學生觀察並考究兩組數字的規律,以加深學生理解排列和組合的意義,例如: 
    ・為甚麼組合數呈對稱而排列數則隨 r 遞增? 
    ・為甚麽 P(n,n) = P(n,n-1)? 
    ・為甚麽排列數總是對應組合數的整數倍? 
    ・為甚麽 C(n,r) + C(n,r+1) = C(n+1,r+1)? 
  4. 教師可引導學生由P(n,1)、P(n,2)、P(n,3)開始,逐步歸納出 P(n,r) 的階乘公式,並結合數數的乘法法則加以解釋,最後由 C(n,r) x r! = P(n,r) 推導出 C(n,r) 的階乘公式。

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